Пересечение цилиндрических поверхностей. Построение аксонометрического чертежа цилиндра вращения Пересечение двух цилиндрических отверстий

Необходимо построить линию пересечения поверхностей вращения — конуса с цилиндром вращения. Оси вращения данных поверхностей расположены взаимно перпендикулярно и являются проецирующими соответственно плоскостей проекций.

Для решения такой задачи по начертательной геометрии необходимо знать:

— построение поверхностей вращения на комплексном чертеже
по заданным координатам точек;

— частные случаи пересечений конуса и цилиндра вращения проецирующей плоскостью;

— метод секущей плоскости для построения линии пересечения
поверхностей.

Порядок решения Задачи

1. В правой части листа бумаги формата A3 согласно варианту задания строятся очерки поверхностей конуса и цилиндра вращения в горизонтальной и фронтальной проекциях.

Рис.8.1

Рассматривая полученный чертеж, нетрудно заметить, что линия пересечения данных поверхностей уже имеется во фронтальной плоскости проекций, т.е. она задана исходным чертежом, выделяем ее красным цветом (искомая линия). Таким образом, для решения задачи остается спроецировать (перенести) ее на горизонтальную плоскость.

2. Построение линии пересечения начинаем с отметки опорных точек. Это точки, выше (ниже) которых правее (левее) нет линии пересечения, заметим, кстати, что линия пересечения может располагаться только в местах, одновременно принадлежащих обоим поверхностям.

Опорными точками на фронтальной проекции будут 1’ и 6’ . Нахождение их на горизонтальной проекции не представляет затруднений. Они будут находиться на крайних образующих конуса, которые проецируется на эту плоскость прямой линией Sb . Перенеся их по линиям связи, получаем 1 и 5 (рис.8.2.а ).

Рис.8.2

3. Далее, применяем метод секущей плоскости, которую можно проводить через определенный интервал или через характерные точки линии пересечения, проводим первую секущую плоскость ’ через точку 2’ . Из частных случаев известно, что если секущая плоскость во фронтальной проекции пересекает конус перпендикулярно оси вращения, то в горизонтальной плоскости сечение будет в виде окружности с радиусом, взятым от оси вращения до очерка поверхности (крайней правой или левой образующих). Проводим указанную окружность данного радиуса R a в горизонтальной плоскости, ставя ножку циркуля в центр конической поверхности. Поскольку точка 2 одновременно принадлежит конической и цилиндрической поверхности и находится в секущей плоскости, то ее горизонтальная проекция должна находиться в пересечении горизонтальных проекций от секущей плоскости по конусу и цилиндру.

Уже отмечалось, что горизонтальная проекция от секущей плоскости, по конусу — окружность; а по цилиндру — прямая линия , т.к. секущая плоскость проходит параллельно оси вращения цилиндра.

Тогда из проекции точки 2’ проводим линию связи (прямую линию сечения цилиндра) пересечения ее с окружностью и получаем горизонтальные проекции точки 2 . Очевидно, что проекций точки будут две: одна — на лицевой стороне конуса 2 (нижняя точка в горизонтальной плоскости проекций), вторая — на тыльной стороне поверхности конуса 2 1 (верхняя точка в горизонтальной плоскости проекций) (рис.8.2.б ).

4. Т очно таким же способом находим горизонтальные проекции остальных точек 4 и 5 , т.е. через их фронтальные проекции проводим секущие плоскости, в горизонтальной плоскости проекций — соответствующие окружности, на которые проецируем указанные точки (рис.8.3 — б ).

5. Полученные горизонтальные проекции точек соединяем последовательно плавной линией с учетом видимости, которая определяется относительно обоих поверхностей. Видимость по конусу будет полной, поскольку в горизонтальной проекции любая точка, лежащая на ее поверхности будет видимой. Видимость по цилиндру определяется таким образом, что все точки, находящиеся выше диаметра цилиндра на фронтальной проекции, будут видимыми на горизонтальной проекции, а все точки, находящиеся ниже диаметра цилиндра на фронтальной проекции — на горизонтальной будут невидимыми (рис.8.3 -б ).

Итак, в горизонтальной плоскости точки 1, 2, 3 будут видимыми, а точки 4, 5, 6 будут невидимыми, в точке 3 (3; 3 1) происходит смена видимости. Соединяя видимые точки контурной линией, а невидимые пунктирной, получаем искомую линию пересечения заданных поверхностей.

Рис.8.3

В заключение отметим два замечания:

1. В практике и в вариантах заданий встречаются так называемые полные и неполные пересечения поверхностей. При неполном пересечении, когда одна поверхность не полностью пересекает другую (в нашем случае) линия пересечения есть одна замкнутая петля; при полном пересечении, когда одна поверхность полностью пересекает другую, линия пересечения распадается на несколько замкнутых ветвей и их будет столько, сколько полных пересечений участков заданных поверхностей. В предлагаемых вариантах заданий рассматриваются задачи с 2-3 петлями линии пересечений. Построение их такое же, как и рассмотренное построение (рис.8.4 )

Рис.8.4

2. Предлагаемые задачи на пересечение поверхностей могут быть решены методом образующих, когда через заданную линию пересечения поверхностей проводится ряд образующих, отмечаются точки пересечения этих образующих с заданной линией пересечения, затем эти образующие вместе с точками на них проецируются на сопряженную плоскость проекций.

В основе способа вспомогательных сферических поверхностей лежит следующее положение: сфера с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается по окружности. Если ось вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость такие окружности проецируются в прямые, перпендикулярные оси вращения (рис.7.17).

Рис. 7.17. Пересечение тел вращения со сферой

Способ вспомогательных сферических поверхностей применяется при определении линии пересечения тел вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной и той же плоскости проекций.

Точку пересечения осей вращения принимают за центр концентрических сферических поверхностей и проводят ряд сфер, пересекающих обе поверхности.

В пересечении контуров получаемых окружностей находят общие для двух поверхностей точки. Наименьшей вспомогательной сферической будет поверхность, вписанная в большее тело.

Задача: Построить линию пересечения двух цилиндров, оси которых пересекаются и параллельны плоскости V (рис.7.18).

Решение:

Находим опорные точки – точки пересечения крайних образующих цилиндра с наклонной осью с крайней правой образующей вертикального цилиндра. Это будут высшая и низшая точки линии пересечения (А v и В v ).

Для построения промежуточных точек проводится ряд концентрических сфер, центры которых, будут лежать в точке пересечения осей заданных цилиндров (О v ).

Наименьшей сферической поверхностью здесь будет поверхность, вписанная в вертикальный цилиндр. Эта сфера касается вертикального цилиндра по окружности, которая проецируется в прямую 1v=2v , а наклонный цилиндр пересекает по окружности, проецирующуюся в прямую 3v=4v . Точка пересечения этих прямых (проекций окружностей) С v и будет общей для обоих цилиндров.

Рис. 7.18. Линия пересечение двух цилиндров

Для построения случайных (промежуточных) точек проведем ряд концентрических сфер. Рассмотрим построение этих точек на примере построения точки Д v .

Проводим сферу, радиус которой больше радиуса окружности основания вертикального цилиндра. Эта сфера пересекает цилиндры по окружностям, проецирующим в прямые 5 v -6 v и 7 v -8 v . Точка пересечения этих прямых (Д v ) и будет точкой, принадлежащей линии пересечения двух цилиндров.

Остальные точки строятся аналогично.

7.6. Развертка поверхности вращения

В промышленности применяется большое количество разнообразных конструкций, выполненных из листового материала путем изгибания, например, различные резервуары, наружная обшивка крыла самолета, кузов автобуса и т.п. Поэтому построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение.

Разверткой , называют фигуру, полученную путем изгибания поверхности при совмещении ее с плоскостью.

К развертывающимся поверхностям относятся цилиндрические и конические поверхности вращения, а к не развертывающимся – поверхности сферы, тора, эллипсоида вращения, параболоида вращения и другие поверхности вращения как закономерные, так и общего вида.

На практике очень часто строят условные (приближенные) развертки не развертывающихся поверхностей, аппроксимируя их развертывающимися поверхностями (гранными, цилиндрическими, коническими).

Развертка цилиндра вращения – прямоугольник, одна сторона его равна  d (d – диаметр цилиндра), а другая – h (высота цилиндра).

Задача: Построить развертку горизонтально-проецирующего цилиндра, срезанного фронтально-проецирующей плоскостью Р .

Решение:

Для построения развертки цилиндрической поверхности использован способ раскатки (рис.7.19).

Окружность основания разделена на 12 равных частей. Через точки проведены образующие цилиндра.

При построении развертки цилиндрическая поверхность «разрезана» по образующей 1-1  и совмещена с плоскостью V . Причем длина линии 1 О ,2 О …12 О ,1 О должна быть теоретически равна окружности основания, а практически на этой линии отложено 12 отрезков, равных  12  . Цилиндрическая поверхность аппроксимирована вписанной в нее призматической (гранной) поверхностью.

Нахождение точек 1  О ,2  О …12  О ,1   О на развертке видно из построений на рис.7.19.

Рис. 7.19. Развертка усеченного цилиндра

Развертка цилиндра состоит из развертки цилиндрической поверхности и двух фигур: окружности (основания) и эллипса (сечения, лежащего в плоскости Р ). Эллипс может быть построен так, как показано на рис.7.19 или по двум осям (большая ось эллипса равна отрезку 1  ’ V 7’ V , а малая ось – 4 Н 10 Н ).

Задача: Построить развертку конуса вращения, срезанного фронтально проецирующей плоскостью Р (рис.7.20).

Решение:

Развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности S V 1 V , а центральный угол  =360 o r /(S V 1 V ) , где r – радиус окружности основания конуса.

Для построения развертки окружность основания конуса разделена на 12 равных частей и через точки проведены образующие конуса:S V 2 V , S V 3 V , S V 5 V и т.д., которые пересекаются с плоскостью Р в точках 2’ V , 3’ V , 5’ V и т. д. При построении развертки необходимо определять натуральную величину отсекаемых плоскостью Р отрезков образующихS V 2’ V , S V 3’ V , S V 5’ V и т.д., которые определяются путем поворота образующей в положение фронтальной прямой, т.е. до совмещения с прямой S V 1 V .

Рис. 7.20. Развертка усеченного конуса

Из произвольной точки S О проводится окружность радиусом S V 1 V , на которой откладываются 12 равных отрезков: 1 0 2 0 =1 H 2 H ; 2 0 3 0 =2 H 3 H и т.д. Точки 1 0 , 2 0 , 3 0 и т.д. соединяются с точкой S О и на этих прямых линиях отмечаются точки 1’ 0 , 2’ 0 , 3’ 0 и т.д. на расстояниях S О 1’ 0 = S V 1’ V ; S О 2’ 0 = S V 2’’ V ; S О 3’ 0 = S V 3’’ V и т.д. Полученные точки плавно соединяют линией, которая представляет собой линию сечения конуса плоскостью Р.

Развертка конуса включает в себя также круг основания конуса и эллипс (сечение конуса плоскостью Р ), который может быть построен так, как показано на рис.6.6 или по двум осям (большая ось эллипса равна отрезку 1’ V 7’ V , а малая расположена посередине между точками 1 V и 7 V ).

С построением развертки боковой поверхности усеченного конуса, поверхности сферы и тора можно ознакомится по литературе /1/ и /2/.

4. Пересечение многогранников

1 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.1 Общие положения

Кривые поверхности пересекаются в общем случае по пространственной кривой линии, проекции которой строятся обычно по точкам. Для нахождения этих точек заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных, затем находят общие точки построенных линий пересечения. Повторяя такие построения многократно, получают необходимое количество точек для определения линии пересечения.

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1) Выбирают вид вспомогательных поверхностей. При выборе вспомогательной секущей поверхности следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее п ростым для построения линиям - прямым или окружностям. В качестве вспомогательных поверхностей - посредников наиболее часто используют плоскости и сферы.

2 ) Строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями.

3) Находят точки пересечения полученных линий и соединяют их между собой.

4) Определяют видимость линии пересечения относительно рассматриваемых поверхностей и плоскостей проекций.

Построения начинают с определения характерных (опорных) точек (точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости), высшая и низшая точки линии пересечения, крайние точки (правая и левая).

При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и утоняет построения.

1.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рис. 186).

В первую очередь определяем характерные точки линии пересечения:

Проекции высшей и низшей точек А2 и E2 определены при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Q, которая пересекает поверхность цилиндра и конуса по крайним образующим. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальном следе Qπ2 вспомогательной плоскости.

Точки С и С найдены при помощи горизонтальной плоскости S , проведенной через ось цилиндра. Плоскость S пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (передней и задней), а поверхность конуса - по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки С 1 и С 1 - горизонтальные проекции точек С и С . Фронтальные проекции этих точек лежат на фронтальном следе плоскости S .

Промежуточные точки линии пересечения найдены при помощи горизонтальных плоскостей Р и R .

Рисунок 186

Рисунок 187

В рассмотренном примере точки линии пересечения найдены при помощи вспомогательных плоскостей частного положения. Иногда же введение плоскостей частного положения не дает желаемого эффекта и целесообразнее воспользоваться плоскостями общего положения.

1.3 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер с постоянным центром

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через

центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии.

На рис. 187 показана фронтальная проекция пересечения сферы радиуса R и поверхностей вращения - конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы

радиуса R и параллельны плоскости π 2 . Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ секущих сфер с постоянным центром применяют при следующих условиях:

1) обе поверхности являются поверхностями вращения;

2) обе поверхности вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

3) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В том случае, если это условие не соблюдается, прибегают к способам преобразования чертежа.

Сфера радиуса (R min )

Рисунок 188

Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рис. 188).

Оси заданных поверхностей вращения пересекаются (точка О ) и параллельны плоскости проекций π 2 , следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются.

Определяем фронтальные проекции опорных точки 1 2 и 2 2 как точки пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Горизонтальные проекции этих точек определяем при помощи линий проекционной связи.

Радиус сферы максимального радиуса (Rmax )

равен расстоянию от фронтальной проекции центра сфер O 2 до наиболее удаленной точки проекции точки пересечения очерков (точка 1 2 ).

минимального

Это сфера, которая может быть вписана в одно геометрическое тело и пересекающая другое.

Сфера минимального радиуса только касается поверхности конуса и, следовательно, пересекает ее но окружности, фронтальная проекция которой - прямая A 2 B 2 . Поверхность цилиндра

сфера R min пересекает также по окружности, фронтальная проекция которой - прямая C 2 D 2 . Пересечение этих прямых - точка 4 2 есть фронтальная проекция одной из точек искомой линии пересечения.

Аналогичным образом при помощи сферы промежуточного радиуса R i построена фронтальная проекция 3 2 еще одной точки, принадлежащей линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса.

2 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1 Соосные поверхности вращения

Соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, так линиями пересечения конуса и цилиндра (рис. 189) являются две окружности, которые проецируются на горизонтальную плоскость в натуральную величину, а на плоскость π 2 - в отрезки прямых.

Рисунок 189

2 Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

Как отмечалось ранее, линия пересечения двух кривых поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. Однако в некоторых частных случаях эта линия может распадаться на плоские кривые.

Теорема Монжа : две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго

Рисунок 188

3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА

Каждая грань многогранника в общем случае пере секает кривую поверхность по плоской кривой. Эти кривые пересекаются между собой в точках встречи ребер многогранника с поверхностью. Таким образом, задача на построение линии пересечения кривой поверхности с многогранником сводится к нахождению линии пересечения поверхности плоскостью и точек встречи прямой с поверхностью.

Пример. Построение линии пересечения поверхностей полусферы

выполняем методом вспомогательных секущих плоскостей.

Каждая грань призмы пересекает поверхность полусферы по полуокружностям, которые пересекаются между собой в точках встречи ребер призмы с поверхностью полусферы.

В приведенном примере одна из граней призмы расположена параллельно фронтальной плоскости проекций, поэтому окружность, по которой эта грань пересекает поверхность полусферы, спроецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения. Фронтальные проекции остальных двух дуг полуокружностей, очевидно, будут представлять собой дуги полуэллипсов. Построение их на эпюре следует начинать с нахождения опорных точек. Для этого через каждое ребро призмы проведены фронтальные плоскости (P и Q ), которые пересекают поверхность полусферы но окружностям.

Точки пересечения фронтальных проекций ребер с соответствующими

полуокружностями являются фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с полусферой (точек 1 , 2 , 3) .

Точки 4 и 5, разделяющие кривые на видимую и невидимую части, получены при помощи фронтальной плоскости S , проведенной через центр полусферы.

Промежуточные точки найдены аналогичным построением (при помощи фронтальных плоскостей R и Т ).

4 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Линия пересечения поверхностей двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию (или две замкнутые ломаные линий), которая проходит через точки пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Построение линии пересечения многогранников можно производить двумя способами, комбинируя или выбирая из них тот, который в зависимости от условий дает более простые построения:

1способ. Определяют точки, в которых ребра одного из многогранников пересекают грани другого и ребра второго пересекают грани первого. Через полученные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения заданных поверхностей. При этом можно со единять прямыми проекции только тех точек, которые лежат на одной и той же грани.

2 способ . Определяют отрезки прямых, по которым грани одного из многогранников пересекают грани другого; эти отрезки являются звеньями получаемой при пересечении многогранников ломаной линии.

SE, в пересечении фронтальных проекций которых с фронтальной проекцией переднего ребра призмы отмечены фронтальные проекции 1 2 , 2 2 точек входа и выхода 1 и 2. Так как грани призмы - горизонтально

Проектирующие плоскости, то построение точек встречи ребер пи - рамиды с гранями призмы (точек 3, 4, 5, 6) никаких затруднений не представляет и понятно из чертежа. Соединив последовательно между собой фронтальные проекции найденных точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения. Горизонтальная проекция ее совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

При определении видимости точек, принадлежащих линии пересечения, руководствуются следующим правилом: проекция точки, полученная при пересечении двух видимых линий, видима. Точка пересечения двух невидимых или одной видимой и другой невидимой линии невидима.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью, следует в общем случае находить точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как было сказано на с. 170 в отношении линейчатых поверхностей вообще. Но это не исключает возможности применять и вспомогательные плоскости, пересекающие каждый раз поверхность и плоскость.

Прежде всего отметим, что любая цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью, расположенной параллельно образующей этой поверхности, по прямым линиям (образующим). На рис. 360 показано пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. В данном случае эта поверхность является вспомогательным элементом при построении точки пересечения кривой линии с плоскостью: через заданную кривую (см. рис. 360, слева) DMNE проведена цилиндрическая поверхность, проецирующая кривую на пл. π 1 . Далее, плоскость (на рис. 360 - треугольник) пересекает цилиндрическую поверхность по плоской кривой М 1 ... N 1 . Искомая точка пересечения кривой с плоскостью - точка К - получается в пересечении кривых - заданной и построенной.

Такая схема решения задачи на пересечение кривой линии с плоскостью совпадает со схемой решения задач на пересечение прямой линии с плоскостью (см. §§ 23

и 25); в обоих случаях через линию проводят вспомогательную поверхность, которая для прямой линии является плоскостью.

Горизонтальная проекция кривой M 1 ...N 1 , по которой цилиндрическая поверхность пересекается с плоскостью, совпадает с горизонтальной проекцией кривой D ... Е, так как эта кривая является направляющей для цилиндрической поверхности при перпендикулярных к пл. π 1 , ее образующих. Поэтому по точке М" 1 на проекции А"С" мы можем найти проекцию М" 1 на А"С" и по точке N" 1 - проекцию N" 1 . Далее, на рис. 360 справа показана вспомогательная пл. α, пересекающая ABC по прямой CF, а цилиндрическую поверхность - по ее образующей с горизонтальной проекцией в точке 1". В пересечении этой образующей с прямой CF получается точка с проекциями 1" и 1", принадлежащая кривой М 1 ... N 1 Очевидно, можно не указывать следа плоскости, а просто провести прямую в треугольнике, как это показано в отношении прямой CG, на которой получена точка с проекциями 2" и 2".

В рассмотренных далее примерах будут показаны развертки . Развертывание цилиндрической поверхности в общем случае может производиться по схеме развертывания поверхности призмы. Цилиндрическая поверхность как бы заменяется вписанной в нее или описанной призматической, ребра которой соответствуют образующим цилиндрической поверхности. Само развертывание, подобно показанному на рис. 283, производится при помощи нормального сечения. Но вместо ломаной линии проводится плавная кривая.

На рис. 361 показано пересечение прямого кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура сечения представляет собой эллипс, малая ось которого равна диаметру основания цилиндра; величина большой оси зависит от угла между секущей плоскостью и осью цилиндра.

Так как ось цилиндра перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Обычно для построения точек контура сечения проводят равномерно расположенные образующие, т. е. такие, проекции которых на пл. π 1 являются точками, равноотстоящими друг от друга. Этой «разметкой» удобно пользоваться не только для построения проекций сечения, но и развертки боковой поверхности цилиндра, как это будет показано ниже.

Проекция фигуры сечения на пл. π 3 - эллипс, большая ось которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая представляет собой проекцию отрезка 1"7". На рис. 361 на пл. π 3 изображение построено так, как будто верхняя часть цилиндра снята после пересечения его плоскостью.

Если бы на рис. 361 плоскость α составляла с осью цилиндра угол 45°, то проекцией эллипса на π 3 была бы окружность. При этом отрезки 1""7"" и 4""10"" оказались бы равными.

Если тот же цилиндр пересекать плоскостью общего положения, также составляющей с осью цилиндра угол 45°, то проекцию фигуры сечения (эллипса) в виде окружности можно получить на дополнительной плоскости проекций, параллельной оси цилиндра и горизонталям секущей плоскости.

Очевидно, при увеличении угла наклона секущей плоскости к оси отрезок 1""7"" уменьшается; если же этот угол будет меньше 45°, отрезок 1""7"" увеличивается и становится большой осью эллипса на пл. π 3 , малой же осью этого эллипса становится отрезок 4""10"".

Натуральный вид сечения представляет собой, как уже сказано выше, эллипс. Его оси получаются на чертеже: большая - отрезок 1 0 7 0 = 1"7", малая - отрезок 4 0 10 0 , равный диаметру цилиндра. Эллипс может быть построен по этим осям.

На рис. 362 показана полная развертка нижней части цилиндра.

Развернутая окружность основания цилиндра разделена на равные между собой части соответственно делениям на рис. 361; отрезки образующих отложены на перпендикулярах, проведенных в точках деления развернутой окружности основания цилиндра. Концы этих отрезков соответствуют точкам эллипса. Поэтому, проведя через них кривую линию, получаем развернутый эллипс (эта линия представляет собой синусоиду) - верхнюю кромку развертки боковой поверхности цилиндра.

К развертке боковой поверхности на рис. 362 присоединены круг основания и эллипс - натуральный вид сечения, что дает возможность сделать модель усеченного цилиндра.

На рис. 363 изображен эллиптический цилиндр с круговым основанием; его ось параллельна пл. π 2 . Для определения нормального сечения этого цилиндра его надо рассечь плоскостью, перпендикулярной к образующим, в данном случае фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура нормального сечения представляет собой эллипс с большой осью, равной отрезку 3 0 7 0 , и с малой, равной 1 0 5 0 = 1"5".

Если надо будет развернуть боковую поверхность данного цилиндра, то, имея нормальное сечение, развертывают ограничивающую его кривую в прямую линию и в соответствующих точках этой прямой, перпендикулярно к ней, откладывают отрезки образующих, беря их с фронтальной проекции. Для разметки образующих делят окружность основания на равные части. При этом и эллипс (нормальное сечение) разделится на такое же число частей, но не все эти части получаются равной

длины. Развертывание эллипса в прямую можно произвести путем последовательного откладывания на прямой достаточно малых частей эллипса.

На рис. 364 показан прямой круговой цилиндр, пересеченный плоскостью общего положения. В сечении получается эллипс: секущая плоскость составляет с осью конуса некоторый острый угол.

Подобно тому, как это было на рис. 361, горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому положение горизонтальной проекции точки пересечения любой из образующих цилиндра с пл. α известно (например, точка А" на рис. 365). Для нахождения соответствующей фронтальной проекции можно ировести в пл. α горизонталь или фронталь, на которой должна находиться искомая точка. На рис. 365 проведена фронталь; в том месте, где фронтальная проекция фронтали пересекает фронтальную проекцию соответствующей образующей, лежит проекция А". Одна и та же фронталь определяет две точки кривой, А и В (рис. 365). Если же построить фронталь, соответствующую точке С, то

эта линия определит лишь одну точку кривой пересечения. Фронталь, построенная по точкам D и Е, определяет крайние точки D" и Е".

Продолжая аналогичные построения, можно найти достаточно точек для вычерчивания фронтальной проекции линии пересечения.

На рис. 366 верхняя часть цилиндра как бы срезана. Если же фронтальную проекцию показывают полностью, то линию пересечения вычерчивают так, как показано на рис. 364.

На рис. 365 показаны вспомогательные фронтальные плоскости β, γ, δ пересекающие цилиндр по образующим, а пл. α по фронталям. Это соответствует тому, что было сказано в начале параграфа. Вспомогательная пл. δ лишь касается цилиндра, что дает возможность определить только одну точку для кривой.

При построении фронтальной проекции линии пересечения, помимо точек D" и Е" (рис. 365), следует найти еще две крайние точки, а именно М" и N" - наивысшую и наинизшую точки проекции сечения на пл. π 2 . Для их построения надо выбрать вспомогательную плоскость, перпендикулярную к следу h" 0α и проходящую через ось цилиндра (рис. 366). Эта плоскость является общей плоскостью симметрии данных цилиндра и секущей пл. а. Найдя линию пересечения плоскостей α и β, отметим точки М" и N", построив их на фронтальной проекции по точкам М" и N".

Иной способ нахождения точек М" и N" заключается в проведении двух плоскостей, касательных к цилиндру, горизонтальные следы которых параллельны следу h" 0α . Эти плоскости пересекутся с пл. α по горизонталям последней (рис. 364, вспомогательные плоскости β и γ); отметив точки М" и N" построим точки М" и N" на фронтальных проекциях горизонталей.

Отрезок MN представляет собой большую ось эллипса - фигуры сечения данного цилиндра пл. α. Это видно и на рис. 366, где построен в совмещении с пл. π 1 эллипс - натуральный вид сечения. Но отрезок M"N" на том же рисунке отнюдь не является большой осью эллипса - фронтальной проекции фигуры сечения. Эту большую ось можно найти по сопряженным диаметрам M"N" и F"G" (рис. 364) построением, указанным в § 21, или специальным построением, приведенным в § 76.

Натуральный вид сечения может быть найден совмещением секущей плоскости с одной из плоскостей проекций, π 1 или π 2 .

На рис. 366 эллипс в совмещенном положении построен по большой и малой осям (там же точка D" получена совмещением фронтали).

Развертка боковой поверхности показана на рис. 364. Обратите внимание на то, что разметка точек - горизонтальных проекций образующих - на окружности основания производилась от точки N". Этим построение упрощалось, так как с помощью одной и той же горизонтали получаются две точки на фронтальной проек

ции эллипса. Кроме того, фигура развертки имеет ось симметрии. Но при этом точки D" и Е" не попали в число точек, размеченных на окружности.

Еще один пример построения фигуры сечения цилиндра вращения плоскостью дан на рис. 367. Это построение выполнено при помощи способа перемены плоскостей проекций. Секущая плоскость задана пересекающимися прямыми - фронталью (AF) и профильной прямой (АР). Так как профильная проекция фронтали и фронтальная проекция профильной прямой лежат на одной прямой А"≡A"", A""F"" = А"Р", то эти прямые лежат соответственно в плоскостях π 2 и π 3 , (см. рис. 367, слева вверху). Ось π 2 /π 3 проходит через A""F""(A"P").

Вводим новую пл. π 4 так, что π 4 ⊥π 3 , и π 4 ⊥АР. Секущая плоскость оказывается перпендикулярной к π 4 , и проекция на π 4 фигуры сечения получается в виде отрезка прямой 2 IV 6 IV , равного большой оси эллипса - фигуры сечения. Положение прямой A IV 6 IV определяется построением проекций точек А и 1 на пл. π 4 .

Проследим построение некоторых точек. Чтобы избежать излишних построений, проекция 1"" была взята на продолжении перпендикуляра, проведенного из О"" на π 3 / π 4 . По точке 1"" была получена проекция 1"; отрезок 1"1"", отложенный от оси π 3 /π 4 , определил точку IV и совпадающую с ней точку О 1 - проекцию центра эллипса. Зная проекции 0 IV и О"", можно получить О" - центр эллипса - искомой фронтальной проекции фигуры сечения.

По точкам 2 IV и 2"" найдена точка 2", наименее удаленная от π 3 , а по точкам 6 IV и 6"" - точка 6", наиболее удаленная от π 3 .

По точке 5"" взяга точка 5 IV , и теперь по точкам 5 IV и 5"" найдена точка 5"- одна из точек, определяющих разделение эллипса на фронтальной проекции цилиндра на «видимую» и «невидимую» части. Вторая точка расположена симметрично точке 5" по отношению к О".

Остальное ясно из чертежа. Натуральный вид фигуры сечения (эллипс на рис. 367, справа) построен по осям - большой, равной 2 IV 6 IV , и малой, равной диаметру цилиндра.

Вопросы к §§ 55 -56

1. Как строится кривая линия при пересечении кривой поверхности плоскостью?
2. По каким линиям пересекается цилиндрическая поверхность плоскостью, проведенной параллельно образующей этой поверхности?
3. Каким приемом пользуются в общем случае для нахождения точки пересечения кривой линии с плоскостью?
4. Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостями?
5. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , фронтально-проецирующей плоскостью, спроецируется на пл. π 3 в виде окружности?
6. Как следует расположить дополнительную плоскость проекций, чтобы эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , плоскостью общего положения, составляющей с осью цилиндра угол 45°, спроецировался на эту плоскость проекций в виде окружности?

Взаимное пересечение тел вращения

На рис. 4.21 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров. Оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.

На рис. 4.21, а изображена деталь (тройник, служащий для соединения труб, и его модель), представляющая собой два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т.е. с окружностью (рис. 4.21, б ). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отмечают на горизонтальной и профильной проекциях характерные точки 1, 2, 3. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1 , 2, 3 находят их фронтальные проекции 1", 2", 3". Таким образом найдены проекции точек, определяющих линию перехода.

Рис. 4.21.

b – линия пересечения: b", b, b" – проекции линии пересечения

В ряде случаев такого количества точек недостаточно. Чтобы получить дополнительные точки, можно применить способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ заключается в том, что поверхности тел пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные в результате пересечения контуров сечений, находятся на линии пересечения.

В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной секущей плоскостью Р (рис. 4.21, а, в ). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра – прямоугольник.

Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, находятся на линии пересечения обоих тел (рис. 4.21, а ).

Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, которые лежат на окружностях, находят с помощью линий связи их фронтальные проекции, как это показано стрелками на рис. 4.21, в.

Полученные пять точек соединяют плавной кривой.

При необходимости увеличить количество точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных секущих плоскостей.

Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры, то одна из проекций их линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 4.21, г , д ), а в пространстве линии пересечения – эллипсы.

Линия пересечения шара и прямого кругового цилиндра, ось которого проходит через центр шара, показана на рис. 4.22. Как видно из чертежа, на одной проекции линия пересечения изображается окружностью 1, а па другой проецируется в прямую линию 1".

Рис. 4.22.

1 – линия пересечения; 1" и 1 – проекции линии пересечения

Проецирование тел с отверстиями

В технике встречается много деталей, имеющих отверстия цилиндрической, прямоугольной, треугольной или смешанной формы (рис. 4.23). При пересечении отверстий с поверхностями деталей образуются линии пересечения, которые необходимо построить на чертеже Задача эта решается в общем виде теми же методами, что и построение линий пересечения геометрических тел. В каждом случае отверстие можно рассматривать как тело, проходящее через данную деталь.

Рис. 4.23.

На рис. 4.24, а показан цилиндр, имеющий отверстие цилиндрической формы. Оси цилиндра и отверстия пересекаются под прямым углом. Линия пересечения изображается кривой. Построение такой линии было показано на рис. 4.21. На рис. 4.24, а показано, как получить характерные точки данной кривой.

Рис. 4.24.

Линия пересечения цилиндра с отверстием прямоугольной формы в случае пересечения их осей под прямым углом показана на рис. 4.24, б. Для ее построения на горизонтальной проекции выбраны характерные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Профильные их проекции 1", 2", 3", 4", 5" , 6" лежат на окружности, являющейся проекцией цилиндра. Фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5" , 6" находят по полученным горизонтальным и профильным. Соединив точки 1", 2", 3", 4", 5", 6" прямыми, получают проекцию линии пересечения в виде прямоугольной впадины. Проекция линии пересечения с другой стороны отверстия имеет ту же форму.

На рис. 4.24, в показана линия пересечения цилиндра с отверстием, являющимся комбинацией первых двух. Отверстие образовано четырехугольной призмой и двумя полуцилиндрами. Такую форму имеет шпоночная канавка.