Основное свойство алгебраической дроби. Обыкновенные дроби. Определения и свойства С 2 основное свойство дроби
Эта статья про обыкновенные дроби . Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.
Навигация по странице.
Доли целого
Сначала введем понятие доли .
Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей .
Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.
В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей . Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.
Одна вторая доля имеет специальное название – половина . Одна третья доля называется третью , а одна четверная доля – четвертью .
Для краткости записи были введены следующие обозначения долей . Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.
Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей
Для описания количества долей используются обыкновенные дроби . Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.
Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.
Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей .
Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей
: 5/10
, , 21/1
, 9/4
, . А вот записи 
не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель .
Определение.
Числитель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число m .
Определение.
Знаменатель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число n .
Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .
Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .
Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .
Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .
Черта дроби как знак деления
Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.
Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.
Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .
С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей , ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.
В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби , а во втором – неравные обыкновенные дроби . Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.
Определение.
равны , если справедливо равенство a·d=b·c .
Определение.
Две обыкновенные дроби a/b и c/d не равны , если равенство a·d=b·c не выполняется.
Приведем несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2 равна дроби 2/4 , так как 1·4=2·2 (при необходимости смотрите правила и примеры умножения натуральных чисел). Для наглядности можно представить два одинаковых яблока, первое разрезано пополам, а второе – на 4 доли. При этом очевидно, что две четвертых доли яблока составляют 1/2 долю. Другими примерами равных обыкновенных дробей являются дроби 4/7 и 36/63 , а также пара дробей 81/50 и 1 620/1 000 .
А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4·14=56 , а 13·5=65 , то есть, 4·14≠13·5 . Другим примером неравных обыкновенных дробей являются дроби 17/7 и 6/4 .
Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то возможно потребуется узнать, какая из этих обыкновенных дробей меньше другой, а какая – больше . Чтобы это выяснить, используется правило сравнения обыкновенных дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему знаменателю и последующему сравнению числителей. Детальная информация по этой теме собрана в статье сравнение дробей: правила, примеры, решения .
Дробные числа
Каждая дробь является записью дробного числа . То есть, дробь – это всего лишь «оболочка» дробного числа, его внешний вид, а вся смысловая нагрузка содержится именно в дробном числе. Однако для краткости и удобства понятие дроби и дробного числа объединяют и говорят просто дробь. Здесь уместно перефразировать известное изречение: мы говорим дробь – подразумеваем дробное число, мы говорим дробное число – подразумеваем дробь.
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, отвечающие обыкновенным дробям, имеют свое уникальное место на , то есть, существует взаимно однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Чтобы на координатном луче попасть в точку, соответствующую дроби m/n нужно от начала координат в положительном направлении отложить m отрезков, длина которых составляет 1/n долю единичного отрезка. Такие отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n равных частей, что всегда можно сделать с помощью циркуля и линейки.
Для примера покажем точку М на координатном луче, соответствующую дроби 14/10 . Длина отрезка с концами в точке O и ближайшей к ней точке, отмеченной маленьким штрихом, составляет 1/10 долю единичного отрезка. Точка с координатой 14/10 удалена от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.
Равным дробям отвечает одно и то же дробное число, то есть, равные дроби являются координатами одной и той же точки на координатном луче. Например, координатам 1/2 , 2/4 , 16/32 , 55/110 на координатном луче соответствует одна точка, так как все записанные дроби равны (она расположена на расстоянии половины единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении).
На горизонтальном и направленном вправо координатном луче точка, координатой которой является большая дробь, располагается правее точки, координатой которой является меньшая дробь. Аналогично, точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби . Это разделение в своей основе имеет сравнение числителя и знаменателя.
Дадим определение правильных и неправильных обыкновенных дробей.
Определение.
Правильная дробь
– это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя, то есть, если m Определение.
Неправильная дробь
– это обыкновенная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, то есть, если m≥n
, то обыкновенная дробь является неправильной.
Приведем несколько примеров правильных дробей: 1/4
, , 32 765/909 003
. Действительно, в каждой из записанных обыкновенных дробей числитель меньше знаменателя (при необходимости смотрите статью сравнение натуральных чисел), поэтому они правильные по определению. А вот примеры неправильных дробей: 9/9
, 23/4
, . Действительно, числитель первой из записанных обыкновенных дробей равен знаменателю, а в остальных дробях числитель больше знаменателя. Также имеют место определения правильных и неправильных дробей, базирующиеся на сравнении дробей с единицей. Определение.
правильной
, если она меньше единицы.
Определение.
Обыкновенная дробь называется неправильной
, если она либо равна единице, либо больше 1
.
Так обыкновенная дробь 7/11
– правильная, так как 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1
, а 27/27=1
. Давайте поразмыслим, чем же обыкновенные дроби с числителем, превосходящим или равным знаменателю, заслужили такое название – «неправильные». Для примера возьмем неправильную дробь 9/9
. Эта дробь означает, что взято девять долей предмета, который состоит из девяти долей. То есть, из имеющихся девяти долей мы можем составить целый предмет. То есть, неправильная дробь 9/9
по сути дает целый предмет, то есть, 9/9=1
. Вообще, неправильные дроби с числителем равным знаменателю обозначают один целый предмет, и такую дробь может заменить натуральное число 1
. Теперь рассмотрим неправильные дроби 7/3
и 12/4
. Достаточно очевидно, что из этих семи третьих долей мы можем составить два целых предмета (один целый предмет составляют 3
доли, тогда для составления двух целых предметов нам потребуется 3+3=6
долей) и еще останется одна третья доля. То есть, неправильная дробь 7/3
по сути означает 2
предмета да еще 1/3
долю такого предмета. А из двенадцати четвертых долей мы можем составить три целых предмета (три предмета по четыре доли в каждом). То есть, дробь 12/4
по сути означает 3
целых предмета. Рассмотренные примеры приводят нас к следующему выводу: неправильные дроби, могут быть заменены либо натуральными числами, когда числитель делится нацело на знаменатель (например, 9/9=1
и 12/4=3
), либо суммой натурального числа и правильной дроби, когда числитель не делится нацело на знаменатель (например, 7/3=2+1/3
). Возможно, именно этим и заслужили неправильные дроби такое название – «неправильные». Отдельный интерес вызывает представление неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (7/3=2+1/3
). Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби , и заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения. Также стоит заметить, что существует очень тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами . Каждая обыкновенная дробь отвечает положительному дробному числу (смотрите статью положительные и отрицательные числа). То есть, обыкновенные дроби являются положительными дробями
. К примеру, обыкновенные дроби 1/5
, 56/18
, 35/144
– положительные дроби. Когда нужно особо выделить положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4
, +72/34
. Если перед обыкновенной дробью поставить знак минус, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу. В этом случае можно говорить об отрицательных дробях
. Приведем несколько примеров отрицательных дробей: −6/10
, −65/13
, −1/18
. Положительная и отрицательная дроби m/n
и −m/n
являются противоположными числами . К примеру, дроби 5/7
и −5/7
– противоположные дроби. Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение какой-либо величины в сторону увеличения и т.п. Отрицательные дроби отвечают расходу, долгу, изменению какой-либо величины в сторону уменьшения. Например, отрицательную дробь −3/4
можно трактовать как долг, величина которого равна 3/4
. На горизонтальной и направленной вправо отрицательные дроби располагаются левее начала отсчета. Точки координатной прямой, координатами которых являются положительная дробь m/n
и отрицательная дробь −m/n
расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O
. Здесь же стоит сказать о дробях вида 0/n
. Эти дроби равны числу нуль, то есть, 0/n=0
. Положительные дроби, отрицательные дроби, а также дроби 0/n
объединяются в рациональные числа . Одно действие с обыкновенными дробями – сравнение дробей - мы уже рассмотрели выше. Определены еще четыре арифметических действия с дробями
– сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них. Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию. Умножение дробей
можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6
часть яблока и нам нужно взять 2/3
части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6
и 2/3
. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи умножение дробей – правила, примеры и решения . Список литературы.
Говоря о математике, нельзя не вспомнить дроби. Их изучению уделяют немало внимания и времени. Вспомните, сколько примеров вам приходилось решать, чтобы усвоить те или иные правила работы с дробями, как вы запоминали и применяли основное свойство дроби. Сколько нервов было потрачено для нахождения общего знаменателя, особенно если в примерах было больше двух слагаемых! Давайте же вспомним, что это такое, и немного освежим в памяти основные сведения и правила работы с дробями. Начнем, пожалуй, с самого главного - определения. Дробь - это число, которое состоит из одной или более частей единицы. Дробное число записывается в виде двух чисел, разделенных горизонтальной либо же косой чертой. При этом верхнее (или первое) называется числителем, а нижнее (второе) - знаменателем. Стоит отметить, что знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица, а числитель - количество взятых долей или частей. Зачастую дроби, если они правильные, меньше единицы. Теперь давайте рассмотрим свойства данных чисел и основные правила, которые используются при работе с ними. Но прежде чем мы будем разбирать такое понятие, как "основное свойство рациональной дроби", поговорим о видах дробей и их особенностях. Можно выделить несколько видов таких чисел. В первую очередь это обыкновенные и десятичные. Первые представляют собой уже указанный нами вид записи с помощью горизонтальной либо косой черты. Второй вид дробей обозначается с помощью так называемой позиционной записи, когда сначала идет указание целой части числа, а затем, после запятой, указывается дробная часть. Тут стоит отметить, что в математике одинаково используются как десятичные, так и обыкновенные дроби. Основное свойство дроби при этом действительно только для второго варианта. Кроме того, в обыкновенных дробях выделяют правильные и неправильные числа. У первых числитель всегда меньше знаменателя. Отметим также, что такая дробь меньше единицы. В неправильной дроби наоборот - числитель больше знаменателя, а сама она больше единицы. При этом из нее можно выделить целое число. В данной статье мы рассмотрим только обыкновенные дроби. Любое явление, химическое, физическое или математическое, имеет свои характеристики и свойства. Не стали исключением и дробные числа. Они имеют одну немаловажную особенность, с помощью которой над ними можно проводить те или иные операции. Каково основное свойство дроби? Правило гласит, что если ее числитель и знаменатель умножить либо же разделить на одно и то же рациональное число, мы получим новую дробь, величина которой будет равна величине исходной. То есть, умножив две части дробного числа 3/6 на 2, мы получим новую дробь 6/12, при этом они будут равны. Исходя из этого свойства, можно сокращать дроби, а также подбирать общие знаменатели для той или иной пары чисел. Несмотря на то что дроби кажутся нам более сложными, по сравнению с с ними также можно выполнять основные математические операции, такие как сложение и вычитание, умножение и деление. Кроме того, есть и такое специфическое действие, как сокращение дробей. Естественно, каждое из этих действий совершается согласно определенным правилам. Знание этих законов облегчает работу с дробями, делает ее более легкой и интересной. Именно поэтому дальше мы с вами рассмотрим основные правила и алгоритм действий при работе с такими числами. Но прежде чем говорить о таких математических операциях, как сложение и вычитание, разберем такую операцию, как приведение к общему знаменателю. Вот тут нам как раз таки и пригодится знание того, какое основное свойство дроби существует. Для того чтобы число привести к общему знаменателю, сначала понадобится найти наименьшее общее кратное для двух знаменателей. То есть наименьшее число, которое одновременно делится на оба знаменателя без остатка. Наиболее простой способ подобрать НОК (наименьшее общее кратное) - выписать в строчку для одного знаменателя, затем для второго и найти среди них совпадающее число. В том случае, если НОК не найдено, то есть у данных чисел нет общего кратного числа, следует перемножить их, а полученное значение считать за НОК. Итак, мы нашли НОК, теперь следует найти дополнительный множитель. Для этого нужно поочередно разделить НОК на знаменатели дробей и записать над каждой из них полученное число. Далее следует умножить числитель и знаменатель на полученный дополнительный множитель и записать результаты в виде новой дроби. Если вы сомневаетесь в том, что полученное вами число равняется прежнему, вспомните основное свойство дроби. Теперь перейдем непосредственно к математическим операциям над дробными числами. Начнем с самой простой. Есть несколько вариантов сложения дробей. В первом случае оба числа имеют одинаковый знаменатель. В таком случае остается лишь сложить числители между собой. Но знаменатель не меняется. Например, 1/5 + 3/5 = 4/5. В случае если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и лишь затем выполнять сложение. Как это сделать, мы с вами разобрали чуть выше. В данной ситуации вам как раз и пригодится основное свойство дроби. Правило позволит привести числа к общему знаменателю. При этом значение никоим образом не изменится. Как вариант, может случиться, что дробь является смешанной. Тогда следует сначала сложить между собой целые части, а затем уже дробные. Не требует никаких хитростей, и для того чтобы выполнить данное действие, необязательно знать основное свойство дроби. Достаточно сначала перемножить между собой числители и знаменатели. При этом произведение числителей станет новым числителем, а знаменателей - новым знаменателем. Как видите, ничего сложного. Единственное, что от вас требуется, - знание таблицы умножения, а также внимательность. Кроме того, после получения результата следует обязательно проверить, можно ли сократить данное число или нет. О том, как сокращать дроби, мы расскажем немного позже. Выполняя следует руководствоваться теми же правилами, что и при сложении. Так, в числах с одинаковым знаменателем достаточно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого. В том случае, если у дробей разные знаменатели, следует привести их к общему и затем выполнить данную операцию. Как и в аналогичном случае со сложением, вам понадобится использовать основное свойство алгебраической дроби, а также навыки в нахождении НОК и общих делителей для дробей. И последняя, наиболее интересная операция при работе с такими числами - деление. Она довольно простая и не вызывает особых трудностей даже у тех, кто плохо разбирается, как работать с дробями, в особенности выполнять операции сложения и вычитания. При делении действует такое правило, как умножение на обратную дробь. Основное свойство дроби, как и в случае с умножением, задействовано для данной операции не будет. Разберем подробнее. При делении чисел делимое остается без изменений. Дробь-делитель превращается в обратную, то есть числитель со знаменателем меняются местами. После этого числа перемножаются между собой. Итак, мы с вами уже разобрали определение и структуру дробей, их виды, правила операций над данными числами, выяснили основное свойство алгебраической дроби. Теперь поговорим о такой операции, как сокращение. Сокращением дроби называется процесс ее преобразования - деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Таким образом, дробь сокращается, не меняя при этом своих свойств. Обычно при совершении математической операции следует внимательно посмотреть на полученный в итоге результат и выяснить, возможно ли сократить полученную дробь или же нет. Помните, что в итоговый результат всегда записывается не требующее сокращения дробное число. Напоследок отметим, что мы перечислили далеко не все операции над дробными числами, упомянув лишь самые известные и необходимые. Дроби также можно сравнять, преобразовать в десятичные и наоборот. Но в данной статье мы не стали рассматривать данные операции, так как в математике они осуществляются намного реже, чем те, что были приведены нами выше. Мы с вами поговорили о дробных числах и операциях с ними. Разобрали также основное свойство Но заметим, что все эти вопросы были рассмотрены нами вскользь. Мы привели лишь наиболее известные и употребляемые правила, дали наиболее важные, на наш взгляд, советы. Данная статья призвана скорее освежить забытые вами сведения о дробях, нежели дать новую информацию и "забить" голову бесконечными правилами и формулами, которые, вероятнее всего, вам так и не пригодятся. Надеемся, что материал, представленный в статье просто и лаконично, стал для вас полезным. В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю. Yandex.RTB R-A-339285-1
Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом: Определение 1
Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной. Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a , b и m будут справедливыми равенства:
a · m b · m = a b и
a: m b: m = a b Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: (a · m) · b = (b · m) · a и (a: m) · b = (b: m) · a . Таким образом, дроби
a · m b · m и
a b , а также a: m b: m и a b являются равными по определению равенства дробей. Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби. Пример 1
Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4 · 9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4 · 5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия: Окрашенная часть – это 5 9 исходной фигуры или 20 36 , что является тем же самым. Таким образом, дроби 5 9 и 20 36 являются равными:
5 9 = 20 36 или
20 36 = 5 9 . Эти равенства, а также равенства 20 = 4 · 5 , 36 = 4 · 9 , 20: 4 = 5 и 36: 4 = 9 дают возможность сделать вывод, что
5 9 = 5 · 4 9 · 4 и
20 36 = 20 · 4 36 · 4 . Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера. Пример 2
Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47 , после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3 . Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной? Решение
Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3 . В конечном счете мы получим дробь, равную заданной. Ответ:
да, полученная в итоге дробь будет равна исходной. Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей. Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю. Определение 2
Сокращение дроби
– действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем
. Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду. Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter В математике дробь - это число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. По форме записи дроби делятся на обыкновенные (пример \frac{5}{8}) и десятичные (например 123,45). Определение. Обыкновенная дробь (или простая дробь) Обыкновенной (простой) дробью
называется число вида \pm\frac{m}{n} где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем
этой дроби, а число n – её знаменателем
. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, то есть \frac{m}{n}={}^m/n=m:n Обыкновенные дроби делятся на два вида: правильные и неправильные. Определение. Правильная и неправильная дроби Правильной
называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Например, \frac{9}{11} , ведь 9 Неправильной
называется дробь, у которой модуль числителя больше или равен модулю знаменателя. Такая дробь представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице. Примером будут дроби \frac{11}{2} , \frac{2}{1} , -\frac{7}{5} , \frac{1}{1} Наряду с неправильной дробью существует иная запись числа, которая называется смешанной дробью (смешанным числом). Такая дробь не является обыкновенной. Определение. Смешанная дробь (смешанное число) Смешанной дробью
называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. Например, 2\frac{5}{7} (запись в виде смешанного числа) 2\frac{5}{7}=2+\frac{5}{7}=\frac{14}{7}+\frac{5}{7}=\frac{19}{7} (запись в виде неправильной дроби) Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. Сформируем признак равенства двух обыкновенных дробей. Определение. Признак равенства дробей Две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} являются равными
, если a\cdot d=b\cdot c . Например, \frac{2}{3}=\frac{8}{12} так как 2\cdot12=3\cdot8 Из указанного признака следует основное свойство дроби. Свойство. Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной. \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A:K}{B:K};\quad C \ne 0,\quad K \ne 0 С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, \frac{12}{16}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, \frac{3}{4} – несократимая дробь. Правила для положительных дробей: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями
больше та дробь, числитель которой больше. Например, \frac{3}{15} Из двух дробей с одинаковыми числителями
больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, \frac{4}{11}>\frac{4}{13} . Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Подробно разобрано основное свойство дроби
, дана его формулировка, приведено доказательство и поясняющий пример. Также рассмотрено применение основного свойства дроби при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю. Навигация по странице.
Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий основное свойство дроби. Пусть у нас есть квадрат, разделенный на 9
«больших» квадратов, а каждый из этих «больших» квадратов разделен на 4
«маленьких» квадрата. Таким образом, можно также говорить, что исходный квадрат разделен на 4·9=36
«маленьких» квадратов. Закрасим 5
«больших» квадратов. При этом закрашенными окажутся 4·5=20
«маленьких» квадратов. Приведем рисунок, отвечающий нашему примеру. Закрашенная часть составляет 5/9
исходного квадрата, или, что то же самое, 20/36
исходного квадрата, то есть, дроби 5/9
и 20/36
равны: или . Из этих равенств, а также из равенств 20=5·4
, 36=9·4
, 20:4=5
и 36:4=9
следует, что и . Для закрепления разобранного материала рассмотрим решение примера. Пример.
Числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 62
, после чего числитель и знаменатель полученной дроби разделили на 2
. Равна ли полученная дробь исходной?
Решение.
Умножение числителя и знаменателя дроби на любое натуральное число, в частности на 62
, дает дробь, которая в силу основного свойства дроби, равна исходной. Основное свойство дроби позволяет утверждать и то, что после деления числителя и знаменателя полученной дроби на 2
получится дробь, которая будет равна исходной дроби.
Ответ:
Да, полученная дробь равна исходной.
Основное свойство дроби в основном применяется в двух случаях: во-первых, при приведении дробей к новому знаменателю, и, во-вторых, при сокращении дробей. Основное свойство дроби позволяет проводить сокращение дробей , и в результате переходить от исходной дроби к равной ей дроби, но с меньшим числителем и знаменателем. Сокращение дроби заключается в делении числителя и знаменателя исходной дроби на любой отличный от единицы положительный числителя и знаменателя (если таких общих делителей нет, то исходная дробь несократима, то есть, не подлежит сокращению). В частности, деление на приведет исходную дробь к несократимому виду. Список литературы.
Copyright by cleverstudents Все права защищены.
Положительные и отрицательные дроби
Действия с дробями
Определение дробей
Какими бывают дроби
Свойства дробей
Операции
Общий знаменатель
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
Сокращение
Другие операции
Выводы
Применение основного свойства дроби
Основное свойство дроби – формулировка, доказательство и поясняющие примеры
Применение основного свойства дроби
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
