Записать определение предела функции с помощью неравенств. Универсальное определение предела функции по гейне и по коши

Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ , отличные от точкиа , тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ .

Определение 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Пусть функция
определена на множествеХ иА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любой последовательности значений аргумента
, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функциисходится к числуА . Пишут:
.

Примеры . 1) Функция
имеет предел, равныйс , в любой точке числовой прямой.

Действительно, для любой точки и любой последовательности значений аргумента
, сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от, соответствующая последовательность значений функции имеет вид
, а мы знаем, что эта последовательность сходится кс . Поэтому
.

2) Для функции

.

Это очевидно, так как если
, то и
.

3) Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.

Действительно, пусть
и
, причем все– рациональные числа. Тогда
для всехn , поэтому
. Если же
и все– иррациональные числа, то
для всехn , поэтому
. Мы видим, что условия определения 2 не выполняются, поэтому
не существует.

4)
.

Действительно, возьмем произвольную последовательность
, сходящуюся к

числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.

Определение 3. (Коши (1789-1857)). Пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называетсяпределом функции
в точке(или при
, если для любого
найдется
, такое, что для всех значений аргументах , удовлетворяющих неравенству

,

справедливо неравенство

.

Пишут:
.

Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:

пусть функция
определена на множествеХ и– предельная точка этого множества. ЧислоА называется пределом функции
в точке, если для любой-окрестности точкиА
найдется проколотая- окрестность точки
,такая, что
.

Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.

Пример 5.
.

Действительно, возьмем
произвольно и найдем
, такое, что для всехх , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Последнее неравенство равносильно неравенству
, поэтому видим, что достаточно взять
. Утверждение доказано.

Справедлива

Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство . 1) Пусть
по Коши. Докажем, что это же число является пределом и по Гейне.

Возьмем
произвольно. Согласно определению 3 существует
, такое, что для всех
выполняется неравенство
. Пусть
– произвольная последовательность такая, что
при
. Тогда существует номерN такой, что для всех
выполняется неравенство
, поэтому
для всех
, т.е.

по Гейне.

2) Пусть теперь
по Гейне. Докажем, что
и по Коши.

Предположим противное, т.е. что
по Коши. Тогда существует
такое, что для любого
найдется
,
и
. Рассмотрим последовательность
. Для указанного
и любогоn существует

и
. Это означает, что
, хотя
, т.е. числоА не является пределом
в точкепо Гейне. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке, то он единственный.

Доказательство . Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.

Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим

Определение 4. Говорят, что функция
удовлетворяет условию Коши в точке, если для любого
существует

, таких, что
и
, выполняется неравенство
.

Теорема 3 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функция
имела в точкеконечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция удовлетворяла условию Коши.

Доказательство .Необходимость . Пусть
. Надо доказать, что
удовлетворяет в точкеусловию Коши.

Возьмем
произвольно и положим
. По определению предела длясуществует
, такое, что для любых значений
, удовлетворяющих неравенствам
и
, выполняются неравенства
и
. Тогда

Необходимость доказана.

Достаточность . Пусть функция
удовлетворяет в точкеусловию Коши. Надо доказать, что она имеет в точкеконечный предел.

Возьмем
произвольно. По определению 4 найдется
, такое, что из неравенств
,
следует, что
– это дано.

Покажем сначала, что для всякой последовательности
, сходящейся к, последовательность
значений функции сходится. Действительно, если
, то, в силу определения предела последовательности, для заданного
найдется номерN , такой, что для любых

и
. Поскольку
в точкеудовлетворяет условию Коши, имеем
. Тогда по критерию Коши для последовательностей последовательность
сходится. Покажем, что все такие последовательности
сходятся к одному и тому же пределу. Предположим противное, т.е. что есть последовательности
и
,
,
, такие, что. Рассмотрим последовательность. Ясно, что она сходится к, поэтому по доказанному выше последовательностьсходится, что невозможно, так как подпоследовательности
и
имеют разные пределыи. Полученное противоречие показывает, что=. Поэтому по определению Гейне функция имеет в точкеконечный предел. Достаточность, а значит и теорема, доказаны.

Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .

Определение .
{ x n } , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N ε выполняется неравенство
| x n - a| < ε .
Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

Открытый интервал (a - ε, a + ε ) называют ε - окрестностью точки a .

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью . Также говорят, что последовательность сходится к a . Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся .

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности , означает, что
можно выбрать такую ε - окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности .

Рассмотрим пример . Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε - окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал (-1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a .

Определение окрестности точки
Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: , где ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Тогда определение предела будет следующим.

Эквивалентное определение предела последовательности
Число a называется пределом последовательности , если для любой ее окрестности существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Число a называется пределом последовательности , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1 и ε 2 . И пусть ε - наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Доказать, что .

(1) .
В нашем случае ;
.

.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.

Пример 3

.

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ... имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f (x) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f (x) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f (x) = ∞ , lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Определение 1

Число A является пределом функции f (x) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f (x) = A .

Определение 2

При x → ∞ предел функции f (x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Пример 1

Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Пример 2

Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f (x) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Определение 3

Число B является пределом функции f (x) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a (x n < a).

Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f (x) = B .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Определение 4

Число B является пределом функции f (x) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a (x n > a).

Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f (x) = B .

Мы можем найти предел функции f (x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Пример 3

Докажите, что существует конечный предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n < 2:

f (- 2) ; f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2

Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2

Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n < 2 , синие – к x n > 2).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.

Понятие предела по Коши

Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или

$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$

Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.

Геометрический смысл

Геометрический смысл предела функции

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.

Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.

Определение предела по Гейне

Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.

Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей %%\{x"_n\}%% и %%\{x""_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x"_n)\big\}%% и %%\big\{f(x""_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.

Пример

Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.

Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}. $$

Ясно, что %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.

Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x"_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

для которой %%\lim{x"_n} = +0%%, %%f(x"_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x"_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x""_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x""_n)\big\} = -1%%.

Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.

Теорема

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.